Archives Séminaire de Théorie ergodique

28/02/17: "Mouvements d'ensembles de Julia à plusieurs variables complexes" Fabrizio Bianchi 

Résumé : Pour une famille d'applications rationnelles, les résultats de Lyubich, Mané-Sad-Sullivan et DeMarco fournissent une compréhension assez complète de la stabilité dynamique. Dans cet exposé je vais passer en revue cette théorie et présenter une généralisation récente à plusieurs variables. Je vais me concentrer sur les arguments qui ne se généralisent pas immédiatement dans le second cas, et j'introduirai les outils et les idées qui permettent de surmonter ces problèmes.

21/02/17: "La dynamique des contractions affines par morceaux de l'intervalle" Arnaldo Nogueira 

Résumé : 
Soient 0<a<1, 0<c<1 et I=[0,1. Nous appelons rotation contractée du cercle l'application f_{a,c} :x\in I \mapsto x+c mod 1. Une fois le nombre a fixé, nous nous intéressons à la dynamique de la famille à un paramètre f_{a,c} où c varie sur l'intervalle ]0,1[. Le premier but de l'exposé est de revenir à un sujet qui a été déjà bien étudié : le rapport entre les rotations contractées et les rotations du cercle. Ensuite, nous allons discuter une généralisation des rotations contractées. Nous disons que la fonction f: I \to \R est une contraction affine par morceaux s'il existe -1<\lambda<1, un entier n>1, des points 0=c_0<c_1<...<c_{n-1}<c_n=1 et des nombres réels b_1,...,b_n tels que f(x)=\lambda x+b_i pour tout x\in [c_{i-1},c_i[, 1\le i \le n. Nous nous intéressons à la famille à un paramètre d'applications de l'intervalle f_\delta : x\in I \mapsto f(x)+\delta mod 1. Nous démontrons que pour (Lebesgue) presque tout \delta \in \R, l'application de l'intervalle f_\delta possède au plus n+1 orbites périodiques et, pour chaque x\in I, la limite supérieure de son orbite est une orbite périodique.

15/02/17: "Theory of filtration, standardness and independence" Anatoly Vershik 

A fitration is a decresing sequence of sigma-fields in the standard measure
space. It occurs in many ergodic and probabilistic contexts. The serious investigations especially on homogeneos filtrations started in the 70.-es and later (Vershik,Feldman-Tsilerlson-Smorodinskt, Emery,Sacheraemeyer, Later  Laurent-De la Rue, Gorbulsky.
But now there are  new aspects of this theory related to the nonhomogeneus case,   to  the theory of graphs (Bratteli diagrmas) and to the adic transformations. I will formulate the main notion -standardness- and describe the corresponding new class of so called Markov Standard chains.

There is an interesting link between standardness and VWB-property in Ornstein ergodic theory. Correspondingly  Nonstadardness relates to K-not-Bernoulli system and seconday entropy.

14/02/17: "Cascades dans la dynamique d'echanges d'intervalles affines" Adrien Boulanger

Résumé: Avec un échange d'intervalle affine donné vient naturellement une famille de telles dynamiques indexée par le cercle. En effet, la pré-composition par une rotation de l'application initiale définit un autre échange d'intervalles affine. On étudiera cette famille de dynamiques dans un cas particulier, à travers la géométrie de la surface affine associée et son groupe de transformations affine.

07/02/17: Benjamin Weiss, "On actions of non amenable groups" 

31/01/17 : Thierry de la Rue "Propriété de Sarnak pour tous les modèles d'un système mesuré et orthogonalité sur des intervalles courts." Ce séminaire commencera exceptionnellement à 10h.

Suite à l'intervention de Thierry de la Rue, une séance exceptionnelle du séminaire aura lieu à 11h30, destinée à tous les membres du LPMA : François Ledrappier donnera un exposé sur le "théorème limite local en courbure négative".

La conjecture de Sarnak stipule que tout système dynamique topologique (Y,S) d'entropie nulle est « Möbius disjoint », au sens où toute suite f(S^n y) produite par le système (f continue sur Y, y arbitraire dans Y) est orthogonale à la fonction arithmétique de Möbius µ : f(Sy) µ(1) + ... + f(S^ny) µ(n) = o(n)

Dans cet exposé, basé sur des travaux en commun avec El Houcein el Abdalaoui, Joanna Kułaga-Przymus et Mariusz Lemańczyk, je vais envisager la conjecture de Sarnak d'un point de vue théorie de la mesure, en partant de la question générale suivante : quelles propriétés d'un système mesuré ergodique (X,m,T) assurent que tous les modèles topologiques uniquement ergodiques de ce systèmes sont Möbius disjoints ?
Nous avons établi dans [1] que cela a lieu par exemple si (X,m,T) possède ce que nous appelons la propritété AOP (Asymptotic Orthogonality of Powers), qui fait intervenir les couplages des puissances de T et est vérifiée par tout système à spectre quasi-discret et totalement ergodique.
Dans un papier très récent [2], Huang, Wang et Zhang ont établi que c'est également vrai dès que (X,m,T) a spectre discret.
En combinant des idées issues des deux travaux mentionnés ci-dessus, j'expliquerai que la propriété AOP, ou encore la simple existence d'un seul « bon modèle » de (X,m,T), impliquent en fait une propriété plus forte, l'orthogonalité à Möbius sur des intervalles courts : si (Y,S) est un modèle uniquement ergodique de (X,m,T), alors pour tout y dans Y, toute fonction continue f sur Y, et toute suite d'entiers 0=b_0<b_1<...<b_k<... avec b_{k+1}-b_k tendant vers l'infini, on a  |f(Sy) µ(1)+...+f(S^{b_1-1}y) µ(b_1-1)|  + |f(S^{b_1}y) µ(b_1)+...+f(S^{b_2-1}y) µ(b_2-1)|  +...  + |f(S^{b_{k-1}y) µ(b_{k-1})+...+f(S^{b_k-1}y) µ(b_k-1)| = o(b_k)

24/01/17 : Benoît Kloeckner, "Inégalités de concentration et de Berry-Esseen effectives"

Résumé - Étant donnée une chaîne de Markov possédant un trou spectral, d'état initial arbitrairement distribué, on donne des inégalités de concentration et de Berry-Esseen où toutes les constantes sont explicites. On discutera brièvement le principe classique permettant de transposer ces inégalités pour certains systèmes dynamiques, et on expliquera le principe de la preuve, qui repose sur une théorie effective de la perturbation des opérateurs.
NB : Le résultat de perturbation des opérateurs sur lequel se base ce travail sera présenté au séminaire d'analyse fonctionnelle de l'IMJ  le 19 janvier à 10h30.

17/01/17 : Maurizio Monge "Rigorous computation in random dynamics and computer-aided proof of noise-induced-order"

Abstract: "We will explain the techniques used to compute rigorously the invariant measure and rigorously estimate observables for general dynamical systems with noise. We will illustrate the interplay of Wasserstein, $L^1$ and variation norms on the space of signed measures, and show how it can be exploited to obtain a surprisingly effective estimation of the invariant measure in the $L^1$ norm. We conclude showing how this allows to prove rigorously the noise-induced order phenomenon for a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction, that had been discovered with numerical simulations by Matsumoto-Tsuda in 1983."

10/01/17 : Bruno Santiago "Centralisateurs de flots chaotiques"

Résumé: Le but de cet exposé sera de discuter de la question suivante : combien de symétries peut avoir un champ vectoriel dont le flot est chaotique ? Pour aborder la question, nous devons donner un sens aux mots chaos et symétrie. Pour cela, nous commencerons notre discussion par le centralisateur d'un flot expansif. C'est un résultat d'Oka qu'un flot expansif non-singulier a un centralisateur quasi-trivial, ce qui signifie que tout champ vectoriel Y qui commute avec un champ vectoriel expansif et non-singulier X est égal à fX, pour une fonction X-invariante f. Nous allons ensuite discuter une généralisation de ce résultat : un flot séparateur a un centralisateur géométriquement trivial, ce qui signifie que tout élément du centralisateur est colinéaire au champ vectoriel donné. Si le temps le permet, nous mentionnerons également notre approche à la question opposée : un champ vectoriel avec de nombreuses symétries peut-il avoir un comportement chaotique ? Travail en collaboration avec Davi Obata (Orsay) et Javier Correa (UFRJ-Rio).

03/01/17 : Thomas Gauthier "Classification des courbes spéciales de polynômes cubiques"

Résumé: Les polynômes postcritiquement finis jouent un rôle particulier dans l'étude des espaces de paramètres de systèmes dynamiques holomorphes discrets pour plusieurs raisons: leur dynamique est plus simple à décrire et ils s'équidistribuent selon une mesure de probabilité qui a un sens dynamique dans n?espace des paramètres.  Le but de cet exposé est de décrire leur répartition du point de vue de la topologie de Zariski. Autrement dit, je donnerai une description des courbes algébriques irréductibles de l'espace des paramètres des polynômes cubiques qui contiennent une infinité de paramètres postcritiquement finis. Il s'agit d'un travail en commun avec Charles Favre.

13/12/16 : Henrik Ueberschär "Le billard de Seba et le modèle d'ondes aléatoires"

Résumé: Le billard de Seba, un rectangle avec une masse de Dirac placée à l'intérieur, est un modèle populaire en chaos quantique pour modéliser la transition entre l'intégrabilité et le chaos dans des systèmes quantiques. Une conjecture de Seba propose que la distribution de valeurs des fonctions d'ondes est Gaussienne, une consequence du modèle d'ondes aléatoires proposé par Michael Berry pour modéliser des fonctions d'ondes des systèmes quantiques dont la dynamique classique est chaotique. Je vais expliquer pourquoi, dans le cas générique, cette conjecture est fausse. L'exposé porte sur un projet en cours avec Pär Kurlberg (KTH, Stockholm).

06/12/16 : Bastien Fernandez "Coupled Map Lattices Beyond the Uncoupled Regime"

Abstract: Beyond uncoupled regimes, the rigorous description of the dynamics of (piecewise) expanding coupled map lattices remains largely incomplete.To address this issue, I will consider repellers of periodic chains of linearly coupled Lorenz-type maps and present some recent results obtained by means of symbolic dynamics. In particular I will show that, while all symbolic codes are admissible for sufficiently small coupling intensity (=uncoupled regime), when the interaction strength exceeds a threshold, a large bunch of codes is pruned and an extensive decay of the topological entropy follows suit. Moreover, this quantity appears to be continuous at the threshold and remains extensively bounded below by a positive number in a large part of the expanding regime. (Joint work with R. Coutinho)

29/11/16 : Sébastien Gouezel "Théorie de Pesin quantitative pour les décalages de type fini" 

Résumé : Dans une dynamique non-uniformément hyperbolique, les ensembles de Pesin  sont des ensembles mesurables où la dynamique est très bien comprise. Cependant, leur définition les rend difficiles à contrôler de manière quantitative, même quand le système sous-jacent est uniformément hyperbolique. On expliquera pourquoi un tel contrôle est utile, et quel type de borne on peut obtenir (en insistant sur un contre-exemple illustrant bien pourquoi les produits de matrices sont plus compliqués que les sommes de Birkhoff). Travail avec L. Stoyanov.

22/11/16 : Alexander I. Bufetov "QUASI-SYMMETRIES AND CONDITIONAL MEASURES OF DETERMINANTAL POINT PROCESSES"

Résumé : The classical De Finetti Theorem (1937) states that an exchangeable collection of random variables is a mixture of Bernoulli sequences. Markov measures with full support and, more generally, Gibbs measures, on the space of binary sequences are easily seen to be quasi-invariant under the natural action of the infinite symmetric group.
The first  result of the talk is that determinantal point processes on Z induced by integrable kernels are also quasi-invariant under the action of the infinite symmetric group.  A key example is the discrete sine-process of Borodin, Okounkov and Olshanski. The Radon-Nikodym derivative is a regularized multiplicative functional on the space of configurations.The formula for the Radon-Nikodym derivative can be seen as the analogue of the Gibbs property for our processes.
The discrete sine-process is  very different from a Gibbs measure: for example, the rigidity theorem of Ghosh and Peres shows that the number of particles in a bounded interval is almost surely determined by the configuration outseide the interval.
The quasi-invariance can then informally be understood as the statement that there are no other invariants except the number of particles. The second result is a  continuous counterpart of the first: namely, it is proved that determinantal point processes with integrable kernels on R, a class that includes processes arising in random matrix theory such as Dyson's sine-process, or the processes with the Bessel kernel or the Airy kernel studied by Tracy and Widom, are quasi-invariant under the action of the group of diffeomorphisms of the line with compact support (rigidity for the sine-process  has been established by  Ghosh, for the Airy and the Bessel by the speaker). While no analogues of these results in higher dimensions are known, in joint work with Yanqi Qiu it is shown that for determinantal point processes corresponding to Hilbert spaces of holomorphic functions on the complex plane C or on the  unit disk D, the quasi-invariance under the action of the group of iffeomorphisms with compact support also holds. Quasi-symmetry theorems have an analogue also for determinantal point processes governed by J-Hermitian kernels, such as, for example, the Whittaker kernel: in joint work with Yanqi Qiu it is shown that adding a particle in one half of the phase space is equivalent  to removing a particle in the other half. This can be seen as a manifestation, in the continuous case, of particle-hole duality.

15/11/16 : Michele Triestino "Groupes localement discrets de difféomorphismes du cercle et partition de Markov"

Résumé : Le groupe des difféomorphismes du cercle étant de dimension infinie, il n'est pas suffisant de demander simplement qu'un sous-groupe y soit discret pour pouvoir en déduire des jolies propriétés : on doit demander qu'il soit discret au voisinage de tout point où la dynamique est intéressante. Ces groupes sont appelés localement discrets.
Conjecturalement, en classe de régularité analytique réelle, les groupes localement discrets sont de nature fuchsienne ou virtuellement libres. En effet, on peut construire une grande variété d'exemples de tels groupes en considérant le groupe que je veux appeler de "Thurston-Tsuboi" : si on laisse agir simultanément tous les revêtements finis de PSL(2,R), de telle sorte que les rotations soient les mêmes, on trouve un produit amalgamé infini qui agit sur le cercle en régularité analytique réelle et est source de dynamiques pas trop étudiées. Dans un travail en cours avec le "collectif carioca" (Alvarez, Barrientos, Filimonov, Kleptsyn, Malicent, Meniño) nous construisons des partitions de Markov pour les groupes localement discrets et virtuellement libres. Puisque le groupe est hyperbolique, ceci permet de définir un "flot géodésique" dans une 3-variété avec une dynamique transverse (non-uniformément) hyperbolique, qui est un invariant de l'action.

08/11/16 : Bassam Fayad  "Théorèmes limites pour variables faiblement corrélées adaptés aux systèmes dynamiques"

25/10/16 : Julien Brémont ''Marche aléatoire en milieu stratifié''

Résumé : ''On considère une marche aléatoire dans Z^d X Z, avec un champ de lois de transition invariant par les translations de Z^d. Un premier modèle de ce type (dans le plan) a été introduit par Campanino et Petritis en 2003. Une condition nécessaire et suffisante de récurrence est présentée. L'asymptotique de la marche s'avère liée à une notion de variance de flux directionnel, mesurant le pouvoir dispersif du milieu. Nous présentons des exemples d'application et évoquons quelques questions en suspens.''

18/10/16 : Dalia  Terhesiu "Mixing and rates of mixing for nonMarkov infinite measure semi flows"

Résumé : We develop an abstract framework for obtaining optimal rates of mixing for infinite measure semiflows. Previously, such results were restricted to the Markov setting. As an illustration of the method, we provide mixing rates for suspensions over nonMarkov intermittent maps with infinite measure. In the set up of nonMarkov infinite measure semiflows we also provide sufficient conditions for obtaining mixing without rates of mixing. This is joint work with H. Bruin and I. Melbourne.

11/10/16 : Andres Koropecki "Rotation sets and a model factor for toral maps" 

Abstract: We show that if a $C^{1+\alpha}$ diffeomorphism $f$ of $\mathbb{T}^2$ homotopic to the identity has a rotation set with nonempty interior, then it is monotonically semiconjugate to a homeomorphism $F$ of $\mathbb{T}^2$ which is area-preserving, topologically mixing, has dense periodic points and every point has a nontrivial stable and unstable set. Moreover, it has a strong form of continuum-wise expansiveness. The rotation set of $F$ is the same of $f$, so one consequence is that every rotation set realizable by a $C^{1+\alpha}$ diffeomorphism is also realizable by an area-preserving homeomorphism with all these properties. Joint work with A. de Carvalho and F. A. Tal.

04/10/16 : Nicolae Mihalache-Ciurdea "Entropie diabolique"

Résumé : C'est bien connu que l'entropie de la famille quadratique réelle est continue (Misiurewicz-Szlenk), monotone (Milnor-Thurston, Douady-Hubbard-Sulivan) et localement constante sur un ouvert dense de paramètres hyperboliques (Graczyk-Swiatek, Lyubich). L'ensemble de paramètres non-hyperboliques est de mesure positive (Jakobson, Benedicks-Carleson). Guckenheimer a montré que l'entropie est uniformément Hölder continue.

Nous (Dobbs-Mihalache) trouvons la valeur de l'exposant de Hölder de l'entropie h en presque tout paramètre a. On a
       Höl(h, a) = h(a) / Lyap(a),
où Lyap(a) est l’exposant de Lyapunov de l’orbite critique (bien défini d’après Avila-Moreira).
En utilisant des résultats récents (Dobbs-Todd) sur la dépendance du paramètre des mesures invariantes, nous montrons que pour presque tout paramètre a, h’(a) = 0.
En dehors d'un voisinage arbitraire de -2 (pointe de l'ensemble de Mandelbrot), presque tout paramètre est envoyé par h dans un ensemble de dimension de Hausdorff strictement inférieure à 1. En dehors d’un voisinage arbitraire de log 2 = h(-2), presque toute valeur de l'entropie provient d'un ensemble de paramètres de dimension de Hausdorff strictement inférieure à 1.



04/07/16 : Anthony Quas "Multiplicative ergodic theorems: Matrices and Oceans"

Abstract: I will discuss some extensions of the multiplicative ergodic theorem and describe some connections with forced dynamical systems. Related ideas have been used in numerical computations of obstructions to mixing in oceans.

28/06/16 : El Houcein El Abdalaoui "La classe des transformations de rang un et le problème du spectre de Lebesgue simple" (The rank one maps and the simple Lebesgue spectrum.)

Abstract : Following the Scottich book, the problem on finding a map with simple Lebesgue spectrum is due to Banach. Precisely, Banach asked if there exist a map T measure-preserving and a square integrable function f such that the orbit of f under T is a Hiblert basis for L^2. It turns out that in 1992, J. Bourgain established a link between the spectrum of the class of rank one maps and some extremal problems for polynomials due to Erdös-Newman-Littlewood and Mahler. In my recent joint work with M. G. Nadkarni,  we have proved that the Banach problem and those extremal problems are equivalent if we restrict our self  to the class of the rank one maps. In this talk I will present these results and the positive solution to the Banach problem in the class of rank one maps which follows from the nice construction of Sidon sets due to Singer.

21/06/16 : Bryna Kra "Shifts of Low Complexity"

Abstrait : We study properties of systems of zero entropy, focusing on ones with  strong restrictions on their complexity.  Starting with the simplest case of linear complexity, we discuss properties of symbolic and topological system, such as the automorphism group and the number of invariant measures.  As the complexity rises to polynomial and super polynomial, we describe the changes in the relation between dynamical properties of the system, algebraic properties, and combinatorial problems.  This is joint work with Van Cyr.

07/06/16 : Julian Newman "Local and almost-global asymptotic stability for memoryless random dynamical systems." 

Résumé : Suppose we have a random dynamical system driven by stationary memoryless noise, together with an ergodic distribution for the associated Markov transition probabilities. It is well-known that if the support of the ergodic distribution admits locally asymptotically stable trajectories (as is often implied by negativity of the maximal Lyapunov exponent), then asymptotically, almost all trajectories split up into one of a finite number of clusters. We will present necessary and sufficient conditions for the number of clusters to be 1, meaning that almost all trajectories synchronise with each other.

17/05/16 : Vincent Pit "Finitude des mesures de Gibbs sur les variétés non compactes à courbure négative."  

Résumé : Nous établissons un critère d'ergodicité ainsi que trois critères de finitude pour les mesures de Gibbs sur les variétés non compactes à courbure négative pincée. Ces critères sont inspirés des critères de Sarig de récurrence et récurrence positive pour les sous-décalages sur un alphabet infini, mais leur preuve ne repose pas sur le codage. En application, nous retrouvons le critère de finitude de Dal'bo-Otal-Peigné-Coudène sur les variétés hyperboliques géométriquement finies, ainsi que le résultat de Peigné sur l'existence d'exemples de mesures de Bowen-Margulis finies pour des variétés non géométriquement finies. Il s'agit d'un travail en commun avec Barbara Schapira (Université Rennes 1). 

10/05/16 : Nicolas Matte Bon "Dynamique de Chabauty et C^*-simplicité des groupes d'homeomorphismes" 

Résumé : Etant donnée un groupe dénombrable G, l'espace Sub(G) de ses sous-groupes est naturellement un espace compact (appellé espace de Chabauty de G), sur lequel G agit par conjugaison. La dynamique topologique de cette action encode des informations sur G et sur ses actions sur d'autres espaces. Je vais parler d'un travail en collaboration avec Adrien Le Boudec, dans lequel on étudie les fermés invariant minimaux de cette action dans certaines familles de groupes d'homéomorphismes d'un espace topologique. On en déduit entre autre des applications à la C^*-simplicité de ces groupes, une propriété des groupes liées aux représentations unitaires. 

03/05/16 : Zhiyuan Zhang "C^r prevalence of stable ergodicity in a class of partially hyperbolic skew products"

Résumé : A diffeomorphisms f : M \to M of a compact manifold M is called partially hyperbolic if the tangent bundle split into Df-invariant sub bundles: TM = E^s + E^c + E^u, which under the action of Df, E^s uniformly contracts, E^u uniformly expands, and Df restricted to E^c is dominated by the other two. A central conjecture in the subject due to Pugh-Shub states that stable ergodicity is open and dense among C^2 volume preserving partially hyperbolic diffeomorphisms. In this talk, we present some recent progress toward this conjecture. We show that among the C^r volume preserving partially hyperbolic skew-product which is centre bunched, and the centre space E^c admit an uniformly dominated splitting E^u = E_1 + E_2, such that the three bundles E^u, E^s, E_1 are robustly sufficiently Holder, a C^r dense C^2 open subset contains ergodic diffeomorphisms. Moreover, we show in this region, stable ergodic is in fact prevalence in the Kolmogorov sense. As another application of our techniques, we generalise a result of Dolgopyat and Krikorian and obtain stable transitivity for action of random rotations on the sphere in arbitrary dimension. 

12/04/16 : Todd Fisher "Unique equilibrium states for geodesic flows in nonpositive curvature."   

Abstract: The geodesic flow for a compact Riemannian manifold with negative curvature has a unique equilibrium state for every Holder continuous potential function. This is no longer true if the curvature is only nonpositive. We show that there is a large class of potentials with unique equilibrium states. Specifically, we prove that for compact rank 1 surfaces of nonpositive curvature that the a scalar times geometric potential has a unique equilibrium state for the scalar less than 1. Furthermore, if a potential satisfies a bounded range hypothesis for compact rank 1 manifolds with nonpositive curvature, then there will be a unique equilibrium state. This is joint work with Keith Burns, Vaughn Climenhaga, and Dan Thompson.

05/04/16 : Pierre-Antoine Guihéneuf "Discrétisations d'applications linéaires et applications aux difféomorphismes"   

Résumé : Est-il possible de faire tourner plusieurs fois une image numérique sans perdre en qualité ? Dans cet exposé, on étudiera ce problème pour l'algorithme le plus naïf de rotation discrète : la discrétisation. Par définition, l'image du point x par la discrétisation de l'application linéaire A\in Gl_n(R) est le point de Z^n le plus proche de Ax. Cela définit un endomorphisme  de Z^n, en général non injectif ; le défaut d'injectivité - i.e. la perte de qualité de l'image numérique - est mesuré par la densité de l'ensemble Â(Z^n). 

29/03/16 : S. Skripchenko "Echanges d'intervalles et sa famille."   

Résumé : Nous allons discuter les échanges d'intervalles et ses généralisations différentes - échanges d'intervalles avec flips, interval translation mappings et systèmes d'isométries. En particulier, nous nous concentrons sur minimalité et ergodicité, aussi bien que les mesures invariantes. 

22/03/16 : J-B. Boyer "Le TCL pour la marche linéaire sur le tore."   
15/03/16 : P. Berger "Propriété de la mesure d'entropie maximale et hyperbolicité de l'attracteur de Hénon. "   

Résumé : Pour une classe abondante d'attracteurs pour des $C^2$-difféomorphismes de type Hénon (correspondant aux paramétres Benedicks-Carleson), nous répondons à une question de L. Carleson en montrant l'existence de $m>0$ minorant un exposant de Lyapunov de toute probabilité invariante. 

Aussi nous montrons l'existence d'une tour de Young $\Lambda$ dont l'orbite est topologiquement conjuguée (modulo la variété stable d'un point fixe) à un décalage Markovien fortement positivement récurrent. Ainsi les temps de premiers retours symboliques et dynamiques dans $\Lambda$ sont égaux. Aussi nous montrons que le complémentaire de l'orbite de $\Lambda$ ne supporte pas de mesure invariante de grande entropie. Nous en déduisons l'existence et l'unicité de la mesure d'entropie maximale, son équi-distribution sur les points périodiques, et ses propriétés de mélange exponentielle.