Index: Rappels d'intégration

Convolution et transformation de Fourier

Précisons d'abord que nous n'avons pas l'intention de faire un exposé un tant soit peu exhaustif du sujet mais seulement de présenter quelques résultats utiles en probabilités. On se place sur $\hbox{$\mathbb{R}$}^d$. On note ${\cal M}_b$ l'ensemble des mesures bornées sur ${\cal B}(\hbox{$\mathbb{R}$}^d)$.. Si $f\in C_b$ et $\mu\in {\cal M}_b$, on écrit indifféremment $\int f\,d\mu$, $\mu(f)$ ou $<\mu,f>$. On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\hbox{$\mathbb{R}$}^d$ et $dx$ pour $d\lambda(x)$. Si $\mu\in {\cal M}_b$ a une densité $h$ par rapport à $\lambda$, on écrit $\mu=h.\lambda$.

convolution

Soit $\phi$ l'application de $\hbox{$\mathbb{R}$}^d\times \hbox{$\mathbb{R}$}^d$ dans $\hbox{$\mathbb{R}$}^d$, $(x,y)\mapsto x+y$.

Définition 1.30   Soient $\mu,\nu\in{\cal M}_b$. On appelle produit de convolution de $\mu$ et $\nu$ et on note $\mu*\nu$ la mesure sur $\hbox{$\mathbb{R}$}^d$ image de $\mu\otimes \nu$ par $\phi$.

D'après (1.8), $\mu*\nu$ est caractérisée par:

$$f\in {\cal B}^+(\hbox{$\mathbb{R}$}^d),\, \int f\,d(\mu*\nu)=\int f(x+y)\,d\mu(x)d\nu(y).$$ (1.9)

On a donc $\mu*\nu(1)=\mu(1)\nu(1)$ et $\mu*\nu\in {\cal M}_b$.

Supposons que $\mu=\phi.\lambda$. On a (tout est positif)

$$\int f\,d(\mu*\nu)=\int f(x+y)\phi(x)\,dxd\nu(y)=\int f(x)(\int \phi(x-y)\,d\nu(y))\,dx$$

et donc, si on pose

$$\phi*\nu(x)=\int \phi(x-y)\,d\nu(y),$$ (1.10)

$\phi*\nu<+\infty$ $\lambda$ p.p. et on a $(\phi.\lambda)*\nu=\phi*\nu.\lambda$. Noter que (1.10) est définie sans problème pour $\phi\in {\cal L}^\infty(\nu)$ et $\nu\in {\cal M}_b$.

Supposons que $\mu=\phi.\lambda$ et $\nu=\psi.\lambda$. On a (tout est positif)

$$\int f\,d(\mu*\nu)=\int f(x+y)\phi(x)\psi(y)\,dxdy=\int f(x)(\int \phi(x-y)\psi(y)\,dy)\,dx,$$

et donc, si on pose

$$\phi*\psi(x)=\int \phi(x-y)\psi(y)\,dy,$$ (1.11)

$\phi*\psi<+\infty$ $\lambda$ p.p. et on a $(\phi.\lambda)*(\psi.\lambda)=\phi*\psi.\lambda$. Noter que (1.11) est définie sans problème pour $\phi\in {\cal L}^\infty(\lambda)$ et $\psi\in {\cal L}^1(\lambda)$.

Transformation de Fourier

Définition 1.31   Soit $\mu\in {\cal M}_b$. On appelle transformée de Fourier de $\mu$ et on note ${\hat \mu}$ la fonction sur $\hbox{$\mathbb{R}$}^d$ définie par ${\hat \mu}(t)=\int$   e$^{i<t,x>}\,d\mu(x)$.

Vu que $\vert$e$^{i<t,x>}\vert\leq1\in {\cal L}^1(\mu)$, $t\mapsto {\hat \mu}(t)$ est continue ( cor.1.15). Si $\mu$ est symétrique (i.e. $\mu(A)=\mu(-A)$), ${\hat \mu}$ est réelle. Enfin on a

$$\vert{\hat \mu}(t)\vert\leq \mu(1)={\hat \mu}(0).$$ (1.12)

Si on note

$${\hat f}(t)=\int$$   e$$^{i<t,x>}f(x)\,dx,\;\;f\in {\cal L}^1(\lambda),$$

on a, pour $\mu=h.\lambda$, ${\hat \mu}(t)={\hat h}(t)$.

Théorème 1.32   Soient $\mu,\nu\in{\cal M}_b$. On a ${\widehat {\mu*\nu}}(t)={\hat \mu}(t){\hat \nu}(t)$.

Démonstration. En effet, puisque $\vert$e$^{i<t,x+y>}\vert\leq1 \in {\cal L}^1(\mu\otimes \nu)$, on a (th.1.22),

$$\displaylines{{\widehat {\mu*\nu}}(t)=\int \mbox{e}^{i<t,x>}\,d(\... ...t,x>}\,d\mu(x)\int \mbox{e}^{i<t,y>}\,d\nu(x) ={\hat \mu}(t){\hat \nu}(t) \qed}$$

Ce paragraphe est consacré à quelques résultats techniques utiles pour la suite.
On pose, pour $\sigma>0$ et $x\in\hbox{$\mathbb{R}$}^d$,

$$g_\sigma(x)=(2\pi\sigma^2)^{-d/2} \,\exp(-\frac{\vert x\vert^2}{2\sigma^2}),\;\;\vert x\vert^2=x_1^2+\ldots+x_d^2\,.$$ (1.13)

On a $g_\sigma\in C_0$, $\int g_\sigma(x)\,dx=1$, $\int \vert x\vert^2g_\sigma(x)\,dx=\sigma^2d$.

Lemme 1.33   ${\widehat {g_\sigma}}(t)=\exp(-\frac{\displaystyle \sigma^2\vert t\vert^2}{\displaystyle 2})$.

Démonstration. Soit $\phi(t)=(2\pi)^{-1/2}\int$e$^{itu}$e$^{-u^2/2}\,du$, $t\in \hbox{$\mathbb{R}$}$. Vu que $\vert\frac{d}{dt}$e$^{itu}\vert\leq \vert u\vert\in {\cal L}^1($e$^{-u^2/2}.\lambda)$, on peut appliquer la prop.1.16 et on a

$$\phi'(t)=i(2\pi)^{-1/2}\int$$   e$$^{itu}\,d(-$$e$$^{-u^2/2})= -(2\pi)^{-1/2}t \int$$   e$$^{itu}$$e$$^{-u^2/2}\,du=-t\phi(t)$$

d'où $\phi(t)=C$e$^{-t^2/2}=$e$^{-t^2/2}$ puisque $\phi(0)=1$. Alors (th.1.22)

$$(2\pi\sigma^2)^{-d/2}\int$$   e$$^{i<t,x>}$$e$$^{-\vert x\vert^2/2\sigma^2}\,dx =\prod_{k=1}^d(2\pi\sigma^2)^{-1/2}\int$$   e$$^{it_kx_k}$$e$$^{-x_k^2/2\sigma^2}\,dx_k=$$e$$^{-\sigma^2\vert t\vert^2/2}\ \qed$$

Lemme 1.34   Pour toute $f\in C_0$, $\vert\vert g_\sigma*f-f\vert\vert\to_{\sigma\to 0} 0$.

Démonstration. Notons d'abord que

$$\alpha^2\int_{\{\vert x\vert\geq\alpha\}}g_\sigma(x)\,dx\leq \int_{\{\vert x\vert\geq \alpha\}}\vert x\vert^2g_\sigma(x)\,dx\leq \sigma^2d.$$

Soit $\varepsilon>0$. $f$ étant uniformément continue, il existe $\alpha>0$ tel que, pour tous $x,y$ vérifiant $\vert x-y\vert< \alpha$, $\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon/2$. Alors

$$\displaylines{ \vert g_\sigma*f(x)-f(x)\vert=\vert\int g_\sigma(x... ...repsilon}{2}+2\vert\vert f\vert\vert\frac{\sigma^2d}{\alpha^2}\leq \varepsilon}$$

si $\sigma$ est assez petit $\qed$

Corollaire 1.35   La famille $(g_\sigma*f;\,\sigma>0,\,f\in C_k)$ est dense dans $C_0$.

Démonstration. On a $g_\sigma*f(x)=\int g_\sigma(x-y)f(y)\,dy$. Vu que $\vert g_\sigma(x-y)f(y))\vert\leq \vert f(y)\vert\in {\cal L}^1(\lambda)$, on montre facilement, grâce au cor.1.15, que $g_\sigma*f\in C_0$. $C_k$ étant dense dans $C_0$, il suffit d'approcher les fonctions de $C_k$, c'est l'objet du lem.1.34 $\qed$

Lemme 1.36   Pour toutes $\mu,\nu\in{\cal M}_b$,

$$\int g_\sigma*\nu(x)\,d\mu(x)=(2\pi)^{-d/2} \int$$   e$$^{-i<y,u>}g_1(\sigma u){\hat \mu}(u)\,dud\nu(y).$$

Démonstration. Vu que, $g_\sigma(x)=\sigma^{-d}g_1(x/\sigma)$, on a (lem.1.33),

e$$^{-\vert t\vert^2/2\sigma^2}={\hat g}_{\sigma^{-1}}(t) =\int$$   e$$^{i<t,u>}g_{\sigma^{-1}}(u)\,du=\sigma^d\int$$   e$$^{i<t,u>}g_1(\sigma u)\,du$$

et $g_\sigma(t)=(2\pi)^{-d/2}\int$   e$^{i<t,u>}g_1(\sigma u)\,du$. On a alors

$$\int g_\sigma*\nu(x)\,d\mu(x) = \int g_\sigma(x-y)\,d\nu(y)d\mu(x)$$

$$= (2\pi)^{-d/2}\int ^{i<x-y,u>}g_1(\sigma u)\,dud\mu(x)d\nu(y)$$

$$= (2\pi)^{-d/2}\int ^{-i<y,u>}g_1(\sigma u)(\int ^{i<x,u>}\,d\mu(x))\,dud\nu(y)$$

grâce au th.1.22 puisque $\vert$e$^{i<x-y,u>}g_1(\sigma u)\vert\leq \vert g_1(\sigma u)\vert \in {\cal L}^1(\lambda\otimes \mu\otimes \nu)$ $\qed$

Prenant $\nu=\delta_a$ dans le lem.1.36, on a, pour toute $\mu\in {\cal M}_b$,

$$\int g_\sigma(x-a)\,d\mu(x)=(2\pi)^{-d/2} \int ^{-i<a,u>}g_1(\sigma u){\hat \mu}(u)\,du.$$ (1.14)

Si on prend $\nu=f.\lambda$ dans le lem.1.36, on a pour toute $\mu\in {\cal M}_b$ et toute $f\in {\cal L}^1_+(\lambda)$ (ou toute $f\in {\cal L}^1(\lambda)$ par différence),

$$\int g_\sigma*f(x)\,d\mu(x)=(2\pi)^{-d/2} \int ^{-i<y,u>}g_1(\sigma u){\hat \mu}(u)f(y)\,dudy.$$ (1.15)

Nous pouvons maintenant établir l'injectivité de la transformation de Fourier.

Théorème 1.37   (i) Soient $\mu,\nu\in{\cal M}_b$. Si, pour tout $t$, ${\hat \mu}(t)={\hat \nu}(t)$, on a $\mu=\nu$.

(ii) Soit $\mu\in {\cal M}_b$. Si ${\hat \mu}\in {\cal L}^1(\lambda)$, on a $\mu=h.\lambda$ avec

$$h(y)=(2\pi)^{-d}\int$$   e$$^{-i<y,u>}{\hat \mu}(u)\,du.$$

Démonstration. (i) Vu (1.15), on a, pour toute $f\in C_k$, $\int g_\sigma*f(x)\,d\mu(x)= \int g_\sigma*f(x)\,d\nu(x)$ et donc (lem.1.34) $\int f(x)\,d\mu(x)= \int f(x)\,d\nu(x)$ et (lem.1.25) $\mu=\nu$.

(ii) Considérons (1.15) pour $f\in C_k$. Lorsque $\sigma\to 0$, le terme de gauche tend vers $\int f(x)\,d\mu(x)$ (lem.1.34) et e$^{-i<y,u>}g_1(\sigma u){\hat \mu}(u)f(y)\to (2\pi)^{-d/2}\mbox{e}^{-i<y,u>}{\hat\mu}(u)f(y)$ en restant borné par $\vert {\hat\mu}(u)f(y)\vert\in {\cal L}^1(\lambda\otimes \lambda)$. On peut donc appliquer le th. de Lebesgue au terme de droite et on obtient à la limite,

$$\displaylines{\int f(x)\,d\mu(x)=(2\pi)^{-d}\int \mbox{e}^{-i<y,u... ...\pi)^{-d}\int \mbox{e}^{-i<y,u>}{\hat \mu}(u)\,du)\,f(y)\,dy=\int f(y)h(y)\,dy}$$

donc (lem.1.25) $\mu=h.\lambda$ $\qed$

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