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Coefficients de Fourier d'une fonction de $ L^2(\mathbb{T},dx)$

Cette section est essentiellement une application de la proposition 1.7. Il nous faut donc exhiber une base orthonormée de l'espace de Hilbert $ L^2(\mathbb{T},dx)$ .

Définition 1.21   On pose \framebox{ $\gamma _n(t)=\exp(-2i\pi nt)$}

Tout ce qui suit est aussi valable avec le choix $ \gamma _n(t)=\exp(2i\pi nt)$ sauf pour certains calculs de dérivation ou d'intégration des fonctions $ \gamma _n(t)$ pour lesquels il faut changer de signe...

Définition 1.22   Soit $ f\in\hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }$. On pose:

$\displaystyle \widehat f(n)=\langle f,\gamma _{n}\rangle =\int_0^1
f(t)\gamma _{-n}(t)\,dt,\qquad S_nf(t)=\sum_{k=-n}^n \hat f(k)\, \gamma _{k}(t)
$

On vérifie facilement que la famille $ \{\gamma _n\}_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}$ est une famille orthonormée. Il s'en suit que la suite $ \hat f(n)$ des coefficients de Fourier de $ f$ est de carré sommable.

Théorème 1.23   La famille $ \{\gamma _n\}_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}$ est un système total dans $ \hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }$ et est donc une base orthonormée de $ \hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }$.

Démonstration. Soit $ E=C({\mathbb{T}})$ l'espace de Banach (complexe) des fonctions complexes continues sur $ {\mathbb{T}}$ muni de la norme uniforme et $ F$ un sous espace vectoriel de $ E$. Le théorème de Stone Weierstrass permet d'affirmer que $ F$ est dense dans $ E$ s'il possède les propriétés suivantes: On a bien sûr l'inclusion (ensembliste) $ E\subset \hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }$. Soit $ F$ l'espace des combinaisons linéaires (complexes) des fonctions $ \gamma _n(t)$, il est alors facile de vérifier que $ F$ vérifie les trois conditions ci-dessus et $ F$ est donc dense dans $ E$ pour la norme uniforme. Soit alors $ f\in\hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }$ et $ \epsilon>0$. D'après 1.20 il existe une fonction $ g\in E$ telle que $ \Vert f-g\Vert _2\leq \epsilon/2$. Pour cette fonction $ g$ il existe $ h\in F$ telle que la norme uniforme $ \sup_{x\in{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}}\vert g(x)-h(x)\vert
\leq \epsilon/2$ et donc $ \Vert h-g\Vert _2\leq\epsilon/2$. $ \qedsymbol$

Remarque 1.24   On peut prouver de la même façon que l'espace des combinaisons linéaires à coefficients complexes des fonctions $ \gamma _n(t)$ est dense dans $ \hbox{$L^p(\mathbb{T},dx)$\ }$ pour $ 1\leq p<\infty$

Cette preuve du fait que les combinaisons linéaires d'exponentielles sont denses dans $ L^2(\mathbb{T},dx)$ n'est pas très constructive, c'est pourquoi l'on va fournir une seconde preuve, utilisant les propriétés du noyau de Poisson du disque. Pour ce faire nous aurons besoin des quelques lemmes énoncés ci-dessous.

Définition 1.25   On note $ \hbox{$
{\hbox{\LARGE $\tau$}}_{\kern -0.2em\hbox{$\scriptstyle{u}$}}$}$ l'opérateur de translation $ \hbox{$
{\hbox{\LARGE $\tau$}}_{\kern -0.2em\hbox{$\scriptstyle{u}$}}$}f(t)=f(t-u)$

Lemme 1.26   Soit $ f$ une fonction de $ L^p(\mathbb{T},dx)$ avec $ 1\leq p<\infty$ . Alors l'application $ u\to \Vert f-\hbox{$
{\hbox{\LARGE $\tau$}}_{\kern -0.2em\hbox{$\scriptstyle{u}$}}$}f\Vert _p$ est continue.

Démonstration. Nous utiliserons souvent le raisonnement suivant: Pour prouver qu'une propriété est vraie sur un espace topologique $ E$ on commence par vérifier qu'elle est vraie sur une partie dense $ F\subset E$ puis on montre ensuite qu'elle ''passe à la limite''. Il est facile ici (par Lebesgue) de prouver que cette propriété de continuité est vraie sur l'espace vectoriel $ F$ engendré par les exponentielles. Soit $ f\in \hbox{$L^p(\mathbb{T},dx)$\ }$ et $ \epsilon>0$. D'après 1.24 il existe $ g$ dans $ F$ telle que $ \Vert f-g\Vert _p\leq\epsilon/4$ et on peut écrire:
    $\displaystyle \Vert f-\hbox{$
{\hbox{\LARGE$\tau$}}_{\kern -0.2em\hbox{$\script...
...\hbox{$
{\hbox{\LARGE$\tau$}}_{\kern -0.2em\hbox{$\scriptstyle{u}$}}$}f\Vert _p$  
  $\displaystyle =2\Vert f-g\Vert _p+ \Vert g-\hbox{$
{\hbox{\LARGE$\tau$}}_{\kern...
...\hbox{$
{\hbox{\LARGE$\tau$}}_{\kern -0.2em\hbox{$\scriptstyle{u}$}}$}g\Vert _p$    

et il suffit d'appliquer la propriété à $ g$.$ \qedsymbol$

Définition 1.27   Soit $ 0\leq r<1$. On définit la fonction continue $ P_r(t)$ sur $ {\mathbb{T}}$ (noyau de Poisson) par le développement en série uniformément convergent sur le tore $ {\mathbb{T}}$ soit

$\displaystyle \framebox{
$
P_r(t)=\sum_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}r...
...=\sum_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}r^{\vert n\vert}\gamma _{-n}(t)
$}$

et pour une fonction $ f\in\hbox{$L^1(\mathbb{T},dx)$\ }$ on pose

$\displaystyle P_rf(t)=\int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}f(t-u)P_r(u)\,du =\int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}f(u)P_r(t-u)\,du $

Proposition 1.28   Soit $ 0\leq r<1$ et $ f\in\hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }$.
  1. $ P_r(t)=\frac{\displaystyle 1-r^2}{\displaystyle \vert 1-r\gamma _1(t)\vert^2}$ et donc $ P_r(t)\geq 0$.
  2. $ \int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}P_r(t)\,dt=1$

Démonstration. La propriété (1) s'obtient par sommation et pour la propriété (2) il suffit de constater que la série définissant $ r(t)$ converge dans $ L^1(\mathbb{T},dx)$ (d'après 1.18). Elle est donc intégrable terme à terme sur $ {\mathbb{T}}$ et l'on remarque que $ \int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}\gamma _n(t)=\delta_0^n$.$ \qedsymbol$

Lemme 1.29   Soit $ g$ une fonction intégrable sur $ {\mathbb{T}}$ et continue à l'origine. Alors l'intégrale $ \int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}P_r(u)g(u)\,du$ tend vers $ g(0)$ lorsque $ r\to 1$.

Démonstration. On peut supposer $ g(0)=0$. Soit $ \epsilon>0$, il existe un voisinage $ {\cal V}$ de $ x$ dans $ {\mathbb{T}}$ tel que si $ x\in{\cal V}$ alors $ \vert g(x)\vert\leq \epsilon/2$. On peut donc écrire:
$\displaystyle \Big\vert\int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}P_r(u)g(u)\,du\Big\vert$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \int_{\cal
V}P_r(u)\vert g(u)\vert\,du + \int_{{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}\setminus{\cal
V}}P_r(u)\vert g(u)\vert\,du$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \epsilon/2 + \Vert g\Vert _1\sup_{u\in{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}\setminus{\cal
V}}P_r(u)$  

Il est maintenant facile de constater que hors d'un voisinage $ {\cal V}$ de zéro la fonction $ P_r(u)$ converge uniformément vers 0 lorsque $ r\to 1$.$ \qedsymbol$

Proposition 1.30   Soit $ 0\leq r<1$ et $ f\in\hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }$.
  1. $ P_rf(t)=\sum_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}\widehat f(n)\,r^{\vert n\vert}\gamma _{n}(t)$
  2. $ P_rf\to f$ dans $ L^2(\mathbb{T},dx)$ lorsque $ t\to 1$.

Démonstration. Pour prouver (1) on remarque que:

$\displaystyle P_rf(t)
=\int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}\sum_{n\in{\hbox...
...tstyle\mathbb{Z}$}}}r^{\vert n\vert}\gamma _{n}(t)\langle f,\gamma _{n}\rangle
$

La seconde égalité provient du fait que la série $ \sum_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}\Vert r^{\vert n\vert}\gamma _{n}(t)\gamma _{-n}f\Vert _1$ est convergente et l'on applique 1.17.


Pour prouver (2) on peut écrire:

    $\displaystyle \displaystyle \vert P_rf(t)-f(t)\vert^2=\Big\vert\int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}(f(t-u)-f(t))P_r(u)\,du\Big\vert^2=$  
  $\displaystyle \displaystyle =\Big\vert\int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}\...
...\leq \int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}\vert f(t-u)-f(t)\vert^2P_r(u)\,du$    

En utilisant le théorème de Fubini pour les fonctions positives on obtient:

$\displaystyle \Vert P_rf-f\Vert ^2_2=\int_{\hbox{{$\scriptstyle\mathbb{T}$}}}\v...
...x{\LARGE $\tau$}}_{\kern -0.2em\hbox{$\scriptstyle{u}$}}$}f\Vert _2^2P_r(u)\,du$

et il suffit d'appliquer le lemme 1.29 avec $ g(u)=\Vert f-\hbox{$
{\hbox{\LARGE $\tau$}}_{\kern -0.2em\hbox{$\scriptstyle{u}$}}$}f\Vert _2^2$$ \qedsymbol$


Cette Proposition permet de redémontrer le fait que les exponentielles forment un système total dans $ L^2(\mathbb{T},dx)$ en utilisant 1.4. En effet si la fonction $ f\in\hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }$ est orthogonale aux exponentielles on a $ \widehat f(n)=0$ pour tout $ n\in{\mathbb{Z}}$ et donc $ P_r(f)=0$ pour tout $ 0\leq r<1$ et il s'en suit que $ f$ est nulle (au sens de $ L^2(\mathbb{T},dx)$ ).

Théorème 1.31   Soit $ f\in\hbox{$L^2(\mathbb{T},dx)$\ }\removelastskip$, l'application $ f\longrightarrow \{\hat f(n)\}_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}$ est une application linéaire bijective et isométrique de $ L^2(\mathbb{T},dx)$ sur $ \ell^2(\mathbb{Z})$ . L'application réciproque est définie par

$\displaystyle \{\widehat f(n)\}_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}\longrightarrow \sum_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}\widehat f(n)\gamma _{n}
$

cette dernière série étant convergente dans $ L^2(\mathbb{T},dx)$ .

Remarquons enfin que l'on peut traiter des fonctions périodiques de période quelconque en se ramenant sur le tore $ {\mathbb{T}}$ par un simple changement de variable. Pour un intervalle $ [A,B]$ on pose $ \tau=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle B-A}$ et $ H=L^2([A,B],\tau dx)$.

Proposition 1.32   Soit $ f\in H$
  1. La famille $ \gamma _{n\tau}(t)$ est une base orthonormée de $ H$
  2. Si on pose $ \widehat f(n)=\langle f,\gamma _{n\tau}\rangle _H=\tau\int_{A}^B
f(x)\gamma _{-n\tau}(x)\,dx$
    1. $ \tau\int_{A}^B \vert f(x)\vert^2\,dx =\sum_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}\vert\widehat f(n)\vert^2$
    2. $ f=\sum_n \widehat f(n)\gamma _{n\tau}$, la série étant convergente dans $ H$.



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