Arbres Aléatoires pour la Biologie Evolutive

Année 2016-17

Responsable : Amaury Lambert

Cette UE est aussi affichée ici

…notamment au sein du parcours Mathématiques Appliquées aux Sciences Biologiques et Médicales

…commun à la spécialité Probabilités et Modèles Aléatoires

…et à la spécialité Mathématiques de la Modélisation

…du Master de Mathématiques et Applications de l'UPMC

Programme indicatif du cours

Ce cours a pour but d'étudier et de comprendre les propriétés mathématiques de certains arbres aléatoires notamment utilisés en biologie évolutive pour modéliser les généalogies de gènes ou les phylogénies d'espèces.

Nous débuterons le cours par deux classes de modèles d'arbres aléatoires discrets : les modèles de dynamique des populations (processus de Galton–Watson, processus de naissance et de mort, `splitting trees') et les modèles de génétique des populations (modèles de Cannings, Wright–Fisher, Eldon–Wakeley). Dans le cas des processus de branchement, nous montrerons comment un processus de contour de l'arbre permet d'en extraire certaines propriétés.

Un rôle particulier est joué en biologie évolutive par l'arbre réduit, qui est l'arbre généalogique des particules vivantes à un temps donné. Nous étudierons deux exemples d'arbres réduits dont il existe une description très élégante dans le sens rétrospectif du temps : le coalescent de Kingman et le processus ponctuel de coalescence.

Une autre partie du cours sera consacrée à l'étude fine des topologies des arbres aléatoires que nous avons introduits, dans le cadre des `Markov branching models' d'Aldous utilisés pour modéliser les arbres phylogénétiques. Nous étudierons notamment la famille beta et plus généralement les familles d'arbres aléatoires étiquetés cohérentes par échantillonnage.

Nous serons amenés à considérer certaines limites d'échelle de ces arbres: arbres de fragmentation, processus de branchement à espace d'états continu, diffusions de Feller et de Fisher–Wright, arbre continu brownien.

Dans la dernière partie du cours, les particules seront munies de types héritables (haplotype, trait phénotypique), et nous caractériserons la partition allélique de la population, prise dans sa totalité ou à temps fixe. Cette partie fait intervenir des objets très importants en génétique des populations et en probabilités discrètes, comme le processus du restaurant chinois et le processus de Poisson–Dirichlet.

Supports de cours

Le cours s'appuie sur deux recueils de notes

Faits et dates importants

  • Cours tous les vendredi de 10h00 à 13h00 du 24/02/2017 au 21/04/2017
  • Cours du 24/02 et du 3/03 en salle 201 - couloir 15-16
  • Cours des 10/03, 17/03, 24/03, 31/03, 21/04 en salle 102 - couloir 15-25
  • Pas de cours les 7 et 14 avril (vacances de printemps)
  • Examen le 5 mai

Examens des années antérieures

 
users/amaury/nmx06.txt · Last modified: 2017/05/11 17:16 by amaury
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