P. Baldi, L. Mazliak, P. Priouret, Martingales et chaînes de Markov (Exercices corrigés)
, Hermann
D. Williams, Probability with martingales , Cambridge.
On trouve une bibliographie plus complète à la fin du polycopié:
Fichier pdf du polycopié de l'année dernière
Pour une application très intéressante de la théorie des chaînes de Markov
à l'informatique, voir cet
article.
Etat d'avancement du cours:
Semaine 1 (du 07/09/09 au 13/09/09):
Rappels de théorie de la mesure (sections 1.1, 1.2,
1.3 du polycopié).
Espaces de probabilité, variables aléatoires,
indépendance, Lemmes de Borel-Cantelli
(sections 2.1, 2.2).
Semaine 2 (du 14/09/09 au 20/09/09):
Loi 0-1 de Kolmogorov. Rappels sur les variables réelles
(sections 2.3, 2.4)
Convergence presque sûre, en probabilité et dans Lp
(section 2.5).
Semaine 3 (du 21/09/09 au 27/09/09):
Rappels sur convergence en loi, loi des grands nombres, théorème de la limite
centrale.
Début des espérances
conditionnelles (section 3.1).
Semaine 4 (du 28/09/09 au 04/10/09):
Espérance conditionnelle (section 3.2, 3.3).
Espérance conditionnelle et indépendance. (section 3.4).
Semaine 5 (du 05/10/09 au 11/10/09):
Lois conditionnelles (section 3.5).
Exemples: loi conditionnelle de
vecteurs gaussiens (section 3.6).
Processus stochastiques, filtrations, temps d'arrêt,
définition de martingale (sections 4.1 et 4.2).
Semaine 6 (du 12/10/09 au 18/10/09):
Martingales et jeux de hasard,
Théorème d'arrêt borné, inégalités maximales,
Martingales dans L2 (sections 4.3, 4.4, 4.5).
Semaine 7 (du 19/10/09 au 25/10/09):
Inégalité de upcrossing.
Théorèmes de convergence. Martingales régulières. Intégrabilité uniforme (sections 4.6, 4.7, 4.8).
Semaine 8 (du 26/10/09 au 01/11/09):
Théorème d'arrêt (section 4.8).
Martingales retrogrades et loi des grands nombres.
(section 4.9).
Semaine 9 (du 02/11/09 au 08/11/09):
Début des chaînes de Markov; définitions, propriétés,
exemples. Matrices de transition (sections 5.1, 5.2).
Suites markoviennes, chaînes canoniques (sections 5.3, 5.4).
Semaine 10 du 09/11/09 au 15/11/09:
Propriété de Markov. Récurrence et transience (sections 5.4, 5.5).
Semaine 11 du 16/11/09 au 22/11/09:
Théorie du potentiel (section 5.6). Chaînes irréductibles récurrentes
(section 5.7).
Semaine 12 du 23/11/0 au 29/11/09:
Stabilisation des chaînes de Markov
(section 5.8).